Utilisation du calcul tensoriel dans les géométries riemanniennes - Cours et exercices corrigés - Nouvelle édition augmentée

Le passage de la "geometrie unique et universelle" (compilee par Euclide trois
siecles av. J.-C.) a des geometries differentes mais tout aussi logiques,
s'est fait sur un plan theorique notamment grace aux travaux de Lobatchevski,
Bolyai, et Riemann, au XIXe siecle. Ces chercheurs ne se doutaient pas que
leur "construction de l'esprit" deviendrait un des outils de la revolution que
la physique allait connaitre un quart de siecle plus tard, notamment avec
Einstein et la relativite generale. Ces nouvelles geometries "bizarres",
maintenant qualifiees de riemanniennes, entraient dans le domaine pratique et
devenaient indispensables a l'etude cosmologique, puisque la geometrie
euclidienne apparaissait comme une approximation locale non valable a
l'echelle de l'Univers. Mais les geometries riemanniennes trouvent aussi des
applications dans des domaines plus "terre-a-terre" comme l'optique des
milieux continus, ou l'etude des surfaces courbes en ingenierie mecanique.
Malheureusement, faute de temps et de place dans les programmes d'enseignement
de la physique, leur etude est souvent escamotee, et les etudiants de ces
disciplines doivent se contenter d'un "digest" de recettes a admettre, portant
sur les notions fondamentales de courbure, de geodesiques et autres,
lesquelles restent souvent bien floues dans les esprits. Le present livre se
propose alors de faire decouvrir les particularites de ces geometries
inhabituelles, a petites doses, de façon progressive, en essayant d'en faire
apparaitre le pourquoi, et en prenant garde aux generalisations trop hatives,
"allant de soi", mais debouchant parfois sur des idees fausses. Un petit
voyage est prevu, a ce propos, dans la fameuse "cinquieme dimension".
Meme si ces geometries sont nees sans faire appel a la notion de tenseur, le
formalisme tensoriel s'est rapidement impose comme outil particulierement
elegant et efficace au cours de leur developpement. Il faut toutefois se
rappeler que cette efficacite est en grande partie liee a l'ingeniosite d'un
systeme de notation des indices, lie a leur variance (notation d'Einstein),
dont l'usage n'est malheureusement pas encore partout entre dans les moeurs.
Bien entendu, il en est fait systematiquement usage dans ce livre. Et la
maitrise d'un outil s'acquerant essentiellement par la pratique, des
exercices, implicitement ou explicitement orientes vers les applications
citees plus haut, ont ete prevus a cet effet.